成吉思汗和忽必烈之间的关系是 祖父与孙子的关系。成吉思汗，原名铁木真，是蒙古帝国的创立者，而忽必烈则是成吉思汗的孙子，也是元朝的开国皇帝。
具体来说，成吉思汗有四个嫡子，其中老儿子拖雷是忽必烈的父亲。拖雷也有四个嫡子，忽必烈在其中排行第二。这种家族关系使得忽必烈在成吉思汗的孙辈中占有重要地位，并最终继承了他的事业，建立了元朝。
忽必烈对成吉思汗有着极深的尊敬和感激之情，他不仅把成吉思汗当做自己的父辈，而且在政治、军事和文化等方面都得到了成吉思汗的极大信任和尊重。忽必烈在成为蒙古帝国大汗后，继续了他祖父和父亲的征服事业，并将蒙古帝国扩展至更广阔的领土，最终在中国建立了元朝。
综上所述，成吉思汗和忽必烈之间的关系不仅是血缘上的祖孙关系，更是政治和情感上的深厚纽带，他们共同创造了蒙古帝国的辉煌历史，并在中国历史上留下了深刻的印记。