行政复议机关负责法制工作的机构在行政复议过程中承担以下职责：
受理行政复议申请：
行政复议机关负责法制工作的机构应当自行政复议申请受理之日起七日内，将行政复议申请书副本或者行政复议申请笔录复印件发送被申请人。
向有关组织和人员调查取证，查阅文件和资料：
为了审查申请行政复议的具体行政行为是否合法与适当，行政复议机关负责法制工作的机构需要向有关组织和人员调查取证，并查阅相关文件和资料。
审查申请行政复议的具体行政行为是否合法与适当，拟订行政复议决定：
行政复议机关负责法制工作的机构需对申请行政复议的具体行政行为进行审查，并提出意见。经行政复议机关的负责人同意或者集体讨论通过后，按照相关规定作出行政复议决定。
处理或者转送对本法第七条所列有关规定的审查申请：
对于涉及特定规定的审查申请，行政复议机关负责法制工作的机构需要进行处理或转送。
对行政机关违反本法规定的行为依照规定的权限和程序提出处理建议：
若发现行政机关存在违反行政复议法规定的行为，行政复议机关负责法制工作的机构有权依照规定的权限和程序提出处理建议。
办理因不服行政复议决定提起行政诉讼的应诉事项：
若公民、法人或其他组织对行政复议决定不服并提起行政诉讼，行政复议机关负责法制工作的机构需负责办理应诉事项。
法律、法规规定的其他职责：
除了上述职责外，行政复议机关负责法制工作的机构还需履行法律、法规规定的其他相关职责。
综上所述，行政复议机关负责法制工作的机构在行政复议过程中扮演着重要角色，负责受理申请、调查取证、审查具体行政行为、拟订决定、处理规定审查申请、提出处理建议以及办理应诉事项等关键职责，确保行政复议的合法、公正、及时和便民。