数学期望，也称为期望值，是概率论和统计学中的一个核心概念。它用于描述一个随机变量的“平均”或“期望”值，即该变量所有可能取值的加权平均数。其中，每个取值乘以其发生的概率作为权重。数学期望反映了随机变量在大量重复试验中的平均表现。
具体计算方式如下：
对于一个离散型随机变量X，其数学期望E（X）定义为：
\[ E（X） = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P（X = x_i） \]
其中，\（ x_i \） 是随机变量X的可能取值，\（ P（X = x_i） \） 是X取值为\（ x_i \）的概率，\（ n \） 是所有可能取值的总数。
对于连续型随机变量，其数学期望E（X）定义为：
\[ E（X） = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f（x） \, dx \]
其中，\（ f（x） \） 是随机变量X的概率密度函数。
数学期望具有以下性质：
线性性质：
对于任意常数a和b，以及随机变量X和Y，有：
\[ E（aX + bY） = aE（X） + bE（Y） \]
期望的线性性质：
期望运算与加法运算和数乘运算可交换。
期望的期望等于期望：
即E（E（X）） = E（X）。
数学期望在许多实际应用中都非常重要，例如在经济学、金融学、物理学和工程学等领域中，可以用来预测随机变量的平均值、评估风险、优化决策等。
需要注意的是，数学期望并不一定等同于人们常识中的“期望”。在概率论中，期望值可能与每一个可能的结果都不相等，它只是表示随机变量输出值的平均数。此外，根据大数定律，当试验次数趋于无穷大时，随机变量的算术平均值将趋近于其数学期望。