点斜式方程是一种用于表示直线方程的方法，它基于直线上的一个已知点以及直线的斜率。点斜式方程的标准形式是：
\[ y - y_1 = k（x - x_1） \]
其中：
\（（x_1, y_1）\） 是直线上的一个已知点的坐标。
\（k\） 是直线的斜率。
推导过程
已知条件 ：已知直线上的一个点 \（（x_1, y_1）\） 和直线的斜率 \（k\）。斜率定义：
斜率 \（k\） 定义为直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差之商，即 \（k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\）。
方程推导
选择直线上的任意一点 \（（x, y）\），该点不必须是已知点 \（（x_1, y_1）\）。
计算直线在点 \（（x, y）\） 处的斜率，应与已知斜率 \（k\） 相等，即 \（k = \frac{y - y_1}{x - x_1}\）。
将上述等式变形，得到 \（y - y_1 = k（x - x_1）\）。
适用情况
点斜式方程适用于已知直线上一点及其斜率的情况。
当直线的倾斜角为 90°（即直线垂直于 x 轴）时，斜率不存在，此时点斜式方程不适用，直线方程为 \（x = x_1\）。
示例
假设直线经过点 \（（2, 3）\） 且斜率为 4，则点斜式方程为：
\[ y - 3 = 4（x - 2） \]
将其化简为一般式：
\[ 4x - y - 5 = 0 \]
再假设直线经过点 \（（3, -1）\） 且倾斜角为 30°，则斜率为 \（\frac{\sqrt{3}}{3}\），点斜式方程为：
\[ y + 1 = \frac{\sqrt{3}}{3}（x - 3） \]
将其化简为一般式：
\[ \sqrt{3}x - 3y - 3\sqrt{3} - 3 = 0 \]
总结
点斜式方程是解析几何中一种重要的工具，用于表示和求解直线方程。通过已知直线上的一个点和斜率，可以快速得到直线的方程，并在各种几何问题中应用。