不动点法是一种求解数列通项公式的有效方法，它主要适用于处理形如 $a_{n+1} = pa_n + q$ 的递推数列，其中 $p$ 和 $q$ 是常数且 $p \neq 1$。这种方法的核心思想是通过寻找一个“不动点”，即满足 $x = px + q$ 的 $x$ 值，来构造一个新的等比数列或等差数列，从而简化原递推关系并求解通项公式。
寻找不动点
首先，我们需要解方程 $x = px + q$ 来找到不动点。这个方程的解是 $x = \frac{q}{1-p}$，前提是 $p \neq 1$。
构造新数列
接下来，我们定义一个新的数列 $b_n$，令 $b_n = a_n - \frac{q}{1-p}$。这样做的目的是将原递推式 $a_{n+1} = pa_n + q$ 转化为 $b_{n+1} = pb_n$ 的形式，从而得到一个等比数列。
推导新数列的递推式
将 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 分别用 $b_n + \frac{q}{1-p}$ 和 $b_{n+1} + \frac{q}{1-p}$ 替换到原递推式中，我们得到：
$$b_{n+1} + \frac{q}{1-p} = p（b_n + \frac{q}{1-p}） + q$$
化简后得到：
$$b_{n+1} = pb_n$$
这表明新数列 $\{ b_n \}$ 是一个等比数列，其公比为 $p$。
求解原数列的通项公式
一旦我们知道了新数列 $\{ b_n \}$ 的通项公式，我们可以通过 $b_n = a_n - \frac{q}{1-p}$ 来求解原数列 $\{ a_n \}$ 的通项公式。
特殊情况
对于某些特殊情况的递推数列，不动点法可能不适用，例如当递推式为 $a_{n+1} = a_n + 1/a_n$ 时，这种方法就不适用，因为该递推式没有对应的不动点方程。
结论
不动点法是一种强大的工具，它可以帮助我们简化递推数列，将其转化为等比数列，从而更容易地找到通项公式。然而，它并不适用于所有类型的递推数列，特别是那些没有不动点或不动点难以识别的情况。在使用不动点法时，需要注意检查递推式是否适合这种方法，并正确选择和处理不动点。