等差数列求和公式的推导可以通过以下步骤进行：
倒序相加法
设等差数列的首项为 \（a_1\），公差为 \（d\），项数为 \（n\）。
将数列中的每一项倒序排列，得到：\（a_n, a_{n-1}, \dots, a_2, a_1\）。
原等差数列的每一项 \（a_k\） 与逆序排列的每一项 \（a_{n-k+1}\） 之和都为 \（（a_k + a_{n-k+1}）\）。
因此，原等差数列前 \（n\） 项和可以表示为：
\[
S_n = （a_1 + a_n） + （a_1 + a_{n-1}） + \cdots + （a_1 + a_2） + a_1
\]
将公式中的每一项添上第一项和最后一项，然后全部除以2：
\[
S_n = \frac{n（a_1 + a_n）}{2}
\]
利用通项公式
根据等差数列的通项公式 \（a_n = a_1 + （n-1）d\），将 \（a_n\） 替换为 \（a_1 + （n-1）d\）：
\[
S_n = \frac{n（a_1 + a_1 + （n-1）d）}{2}
\]
简化得到：
\[
S_n = \frac{n（2a_1 + （n-1）d）}{2}
\]
进一步简化：
\[
S_n = n \left（ a_1 + \frac{（n-1）d}{2} \right）
\]
最终得到等差数列求和公式：
\[
S_n = \frac{n}{2} （2a_1 + （n-1）d）
\]
也可以写成：
\[
S_n = \frac{n}{2} （a_1 + a_n）
\]
通过以上推导过程，我们得到了等差数列的求和公式：
\[
S_n = \frac{n}{2} （a_1 + a_n）
\]
或者
\[
S_n = n \left（ a_1 + \frac{（n-1）d}{2} \right）
\]
这两个公式都可以用来计算等差数列的前 \（n\） 项和。