椭圆的标准方程根据其焦点位置的不同有两种形式：
焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad （a > b > 0）
$$
其中，$a$ 是椭圆长轴的一半，$b$ 是椭圆短轴的一半。
焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为：
$$
\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \quad （a > b > 0）
$$
这里的 $a$ 和 $b$ 的含义与焦点在x轴时相同。
此外，椭圆的一般方程可以表示为：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = r^2 \quad （a > b > 0）
$$
其中 $r$ 是椭圆上任意一点到原点的距离。
椭圆的参数方程也可以用来表示其位置和形状，参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = a \cos \phi \\
y = b \sin \phi
\end{cases}
$$
其中 $\phi$ 是参数，表示椭圆上点与x轴正方向的夹角。
这些方程共同描述了椭圆的基本性质和几何特征。在实际应用中，可以根据具体问题的需要选择合适的方程形式。