均值不等式，也称为算数平均数-几何平均数不等式（AM-GM不等式），表明对于所有非负实数，它们的算术平均数总是大于等于它们的几何平均数。具体来说，对于任意的非负实数 $a$ 和 $b$，有：
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$
当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。
证明方法一：作差比较法
我们可以利用作差比较法来证明均值不等式。考虑表达式：
$$
\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab}
$$
将其化简为：
$$
\frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2}
$$
由于平方项总是非负的，即：
$$
(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0
$$
因此：
$$
\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \geq 0
$$
从而得出：
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$
证明方法二：利用分析法
另一种证明方法是利用分析法。我们需要证明：
$$
a^2 + b^2 \geq 2ab
$$
这可以通过以下步骤完成：
1. 考虑表达式：
$$
a^2 + b^2 - 2ab
$$
2. 重写为：
$$
(a - b)^2
$$
显然，平方项总是非负的，即：
$$
(a - b)^2 \geq 0
$$
从而：
$$
a^2 + b^2 \geq 2ab
$$
因此，均值不等式成立。
归纳法证明
均值不等式也可以通过数学归纳法来证明。首先，验证当 $n = 2$ 时不等式成立：
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$
假设当 $n = k$ 时不等式成立，即：
$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_k}{k} \geq \sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_k}
$$
现在证明当 $n = k + 1$ 时不等式也成立。考虑 $k + 1$ 个数 $a_1, a_2, \ldots, a_k, a_{k+1}$，我们有：
$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_k + a_{k+1}}{k+1} \geq \sqrt[k+1]{a_1 a_2 \cdots a_k a_{k+1}}
$$
根据归纳假设：
$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_k}{k} \geq \sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_k}
$$
乘以 $k$ 得到：
$$
a_1 + a_2 + \cdots + a_k \geq k \sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_k}
$$
因此：
$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_k + a_{k+1}}{k+1} \geq \frac{k \sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_k} + a_{k+1}}{k+1}
$$
我们需要证明：
$$
\frac{k \sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_k} + a_{k+1}}{k+1} \geq \sqrt[k+1]{a_1 a_2 \cdots a_k a_{k+1}}
$$
两边同时乘以 $（k+1）$：
$$
k \sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_k} + a_{k+1} \geq (k+1) \sqrt[k+1]{a_1 a_2 \cdots a_k a_{k+1}}
$$
令 $x = \sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_k}$，则不等式变为：
$$
kx +