复合函数是指 通过将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而形成一个新的函数关系。设函数 $y = f（u）$ 的定义域为 $D_u$，值域为 $M_u$，函数 $u = g（x）$ 的定义域为 $D_x$，值域为 $M_x$，如果 $M_x \cap D_u \neq \emptyset$，那么对于 $M_x \cap D_u$ 内的任意一个 $x$ 经过 $u$，有唯一确定的 $y$ 值与之对应，则称变量 $x$ 与 $y$ 之间通过变量 $u$ 形成的一种函数关系为复合函数，记作 $y = f[g（x）]$，其中 $x$ 为自变量，$u$ 为中间变量，$y$ 为因变量（即函数）。
复合函数的定义域是所有内层函数的定义域的交集，值域为所有内层函数的值域的并集。在求复合函数的导数时，可以将整个复合函数看作一个整体，然后求这个整体的导数。
例如，函数 $y = \sin（x^2 + 1）$ 就是由基本函数 $y = \sin x$ 和函数 $y = x^2 + 1$ 复合而成的。在这个例子中，$y = \sin x$ 是内层函数，$y = x^2 + 1$ 是外层函数。
复合函数在数学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。例如，在数学中，可以使用复合函数来解决微分方程、积分等问题；在物理学中，可以使用复合函数来描述电磁场、引力场等物理现象。