点到面的距离公式向量

时间:2025-02-13 04:58:09 单机游戏

点到平面的距离公式如下:

使用法向量和点的坐标

平面方程为 $Ax + By + Cz + D = 0$,点 $P(x_0, y_0, z_0)$。

距离公式为:

$$

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

其中,$d$ 表示点 $P$ 到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$ 的距离。

使用向量的方法

设平面的法向量为 $\mathbf{n} = (A, B, C)$,点 $P(x_0, y_0, z_0)$,从点 $P$ 到平面上任意一点 $Q$ 的向量为 $\mathbf{PQ} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)$。

距离公式为:

$$

d = \frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{PQ}|}{|\mathbf{n}|}

$$

其中,$\mathbf{n} \cdot \mathbf{PQ}$ 表示向量 $\mathbf{n}$ 和向量 $\mathbf{PQ}$ 的点积,$|\mathbf{n}|$ 表示向量 $\mathbf{n}$ 的模长。

建议在实际应用中,可以根据具体情况选择合适的公式进行计算。如果已知平面的法向量和点的坐标,使用第一个公式会更直接;如果已知平面的法向量和点的坐标,使用第二个公式会更方便。