第一类曲线积分是 沿着一条曲线对向量场进行积分的过程。具体来说，第一类曲线积分可以用以下公式来计算：
\[
\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}
\]
其中：
\（ C \） 是一条可求长曲线，
\（ \mathbf{F} \） 是一个连续可微的向量场，
\（ d\mathbf{s} \） 表示弧长元素。
要计算第一类曲线积分，可以按照以下步骤进行操作：
确定曲线 \（ C \） 的参数化形式 ：通常采用向量函数形式表示。例如，曲线 \（ C \） 可以表示为 \（ \mathbf{r}（t） = （x（t）, y（t）, z（t）） \）。计算曲线的弧长元素 \（ d\mathbf{s} \）：
可以采用下列公式：
\[
d\mathbf{s} = \|\mathbf{r}'（t）\| dt
\]
其中， \（ \mathbf{r}'（t） \） 表示 \（ \mathbf{r}（t） \） 的导数。
将向量场 \（ \mathbf{F} \） 表示为分量形式：
例如， \（ \mathbf{F}（x, y, z） = （P（x, y, z）, Q（x, y, z）, R（x, y, z）） \）。
将 \（ \mathbf{F} \） 与弧长元素 \（ d\mathbf{s} \） 进行点积运算
\[
\mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = P（x（t）, y（t）, z（t）） \frac{dx}{dt} + Q（x（t）, y（t）, z（t）） \frac{dy}{dt} + R（x（t）, y（t）, z（t）） \frac{dz}{dt}
\]
将 \（ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} \） 代入曲线积分公式中
\[
\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int_{a}^{b} \left[ P（x（t）, y（t）, z（t）） \frac{dx}{dt} + Q（x（t）, y（t）, z（t）） \frac{dy}{dt} + R（x（t）, y（t）, z（t）） \frac{dz}{dt} \right] dt
\]
其中， \（ a \） 和 \（ b \） 分别表示曲线 \（ C \） 的参数化区间。
对上式进行积分计算，得到曲线 \（ C \） 上 \（ \mathbf{F} \） 的第一类曲线积分的值。
通过以上步骤，可以计算出沿着给定曲线 \（ C \） 的向量场 \（ \mathbf{F} \） 的第一类曲线积分。