二阶微分方程的通解公式

二阶微分方程的通解公式根据方程的类型和系数有所不同。以下是几种常见的二阶微分方程的通解公式：

齐次二阶线性微分方程 （形如 $y'' + py' + qy = 0$）：

两个不相等的实根：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$

两根相等的实根：$y = （C_1 + C_2 x）e^{r_1 x}$

一对共轭复根：$r_1 = \alpha + i\beta, r_2 = \alpha - i\beta$，则 $y = e^{\alpha x} （C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x）$

非齐次二阶线性微分方程 （形如 $y'' + py' + qy = f（x）$）：

特解形式：

根据 $f（x）$ 的形式，设特解 $y = y_p$，然后通过代入原方程求解 $y_p$

通解形式：齐次方程的通解 $y_h$ 加上特解 $y_p$，即 $y = y_h + y_p$

特定形式的二阶微分方程

形如 $y'' = f（x）$：

通解为 $y = \int f（x） dx + C_1$

形如 $y'' + a y' + b y = e^{mx}$：特解为 $y = C（x） e^{mx}$，其中 $C（x）$ 是待定函数

形如 $y'' + a y' + b y = a \sin x + b \cos x$：特解为 $y = m \sin x + n \cos x$

形如 $y'' + a y' + b y = mx + n$：特解为 $y = ax + b$

这些公式涵盖了二阶线性微分方程的主要情况。对于具体的二阶微分方程，可以根据其类型和系数选择合适的通解方法。