矩阵的迹是指 矩阵主对角线上元素的和，通常用符号 $\mathrm{tr}（A）$ 表示。对于一个 $n \times n$ 的方阵 $A$，其迹被定义为：
$$
\mathrm{tr}（A） = \sum_{i=1}^n a_{ii}
$$
其中，$a_{ii}$ 表示矩阵 $A$ 中第 $i$ 行第 $i$ 列的元素。
矩阵的迹具有以下性质：
加法性质：
对于任意两个 $n \times n$ 的矩阵 $A$ 和 $B$，有：
$$
\mathrm{tr}（A + B） = \mathrm{tr}（A） + \mathrm{tr}（B）
$$
乘法性质：
对于任意两个 $n \times n$ 的矩阵 $A$ 和 $B$，有：
$$
\mathrm{tr}（AB） = \mathrm{tr}（BA）
$$
标量乘法性质：
对于任意 $n \times n$ 的矩阵 $A$ 和标量 $k$，有：
$$
\mathrm{tr}（kA） = k \mathrm{tr}（A）
$$
迹与特征值的关系：
矩阵的迹等于其所有特征值的总和。如果矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$，那么：
$$
\mathrm{tr}（A） = \lambda_1 + \lambda_2 + \ldots + \lambda_n
$$
相似不变性：
如果矩阵 $A$ 和 $B$ 相似，即存在一个可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$，那么它们有相同的迹：
$$
\mathrm{tr}（A） = \mathrm{tr}（B）
$$
矩阵的迹在许多数学和科学领域都有广泛应用，例如在计算矩阵的行列式、特征值、以及解决线性方程组等问题中。