倍角公式和半角公式是三角函数中的重要公式，用于表示角度的二倍角和半角的三角函数值。
倍角公式
正弦二倍角公式
$$
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha
$$
余弦二倍角公式
$$
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha
$$
正切二倍角公式
$$
\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}
$$
半角公式
正弦半角公式
$$
\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}
$$
$$
\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}
$$
余弦半角公式
$$
\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}
$$
$$
\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}
$$
正切半角公式
$$
\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}
$$
应用
这些公式在解决三角函数问题时非常有用，尤其是在处理涉及角度加倍或减半的情况。它们也可以用于推导其他三角函数公式，如三倍角公式等。
注意事项
在使用半角公式时，需要注意正负号的选取，这通常取决于角所在的位置（即象限）。
在进行计算时，确保选择正确的公式和符号，以避免错误。
这些公式是三角学中的基础知识，掌握它们对于深入理解和应用三角函数至关重要。