齐次线性方程组指的是所有方程的常数项都为零的线性方程组，其一般形式可以表示为：
```
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\
\vdots \\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0
\end{cases}
```
其中，$a_{ij}$ 是常数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是未知数。
齐次线性方程组的基本性质：
平凡解 ：当所有未知数 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 都取0时，方程组有一个解，即 $（0, 0, \cdots, 0）^T$。非平凡解：
当至少有一个未知数取非零值时，方程组有非零解。
解的性质
齐次线性方程组的两个解的和仍是该方程组的一组解。
齐次线性方程组的解的任意常数倍也是该方程组的一组解。
齐次线性方程组的解的情况：
如果系数矩阵的秩 $r（A） = n$（即未知数的个数等于方程组的个数），则方程组有唯一解，即零解。
如果系数矩阵的秩 $r（A） < n$，则方程组有非零解。在这种情况下，方程组有无穷多个解，可以通过找出基础解系来表示通解。
求解齐次线性方程组：
1. 对系数矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵。
2. 判断系数矩阵的秩 $r（A）$。
若 $r（A） = r = n$，则方程组只有零解。
若 $r（A） = r < n$，则方程组有非零解。
3. 构造基础解系，并写出通解。通解的一般形式为 $x = c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_rv_r$，其中 $c_1, c_2, \cdots, c_r$ 是任意常数，$v_1, v_2, \cdots, v_r$ 是基础解系中的解向量。
例子
考虑以下齐次线性方程组：
```
\begin{cases}
2x + 3y - z = 0 \\
-x + y + 2z = 0
\end{cases}
```
其系数矩阵为：
```
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -1 \\
-1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
```
对该矩阵进行初等行变换，我们可以得到行最简形矩阵，并据此找出自由变量和基本解系，最终写出通解。
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