解二元一次方程组的基本思想是通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解。常用的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法。
代入消元法
代入消元法的基本步骤如下：
1. 选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 $y = ax + b$ 或 $x = ay + b$ 的形式。
2. 将变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程。
3. 解这个一元一次方程，求出 $x$ 或 $y$ 的值。
4. 将已求出的 $x$ 或 $y$ 的值代入方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数。
5. 把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
加减消元法
加减消元法的基本步骤如下：
1. 在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数。
2. 若不存在上述情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程。
3. 解这个一元一次方程。
4. 将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值。
5. 把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
示例
以方程组 $x + y = 5$ 和 $6x + 13y = 89$ 为例，使用代入消元法求解：
1. 由 $x + y = 5$ 得 $x = 5 - y$。
2. 将 $x = 5 - y$ 代入 $6x + 13y = 89$，得 $6（5 - y） + 13y = 89$。
3. 解这个一元一次方程，得 $y = \frac{59}{7}$。
4. 将 $y = \frac{59}{7}$ 代入 $x = 5 - y$，得 $x = -\frac{24}{7}$。
5. 所以方程组的解为 $x = -\frac{24}{7}$，$y = \frac{59}{7}$。
通过以上步骤，可以有效地解出二元一次方程组。选择哪种方法取决于方程的具体形式和个人的解题习惯。