方向余弦是指在解析几何中，一个向量的三个分量与它们模长的比值，用来描述该向量与三个坐标轴之间的夹角的余弦值。具体计算公式为：
\[
\cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \quad \cos\beta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}, \quad \cos\gamma = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}
\]
其中，\（ （x, y, z） \） 是向量的三个分量，\（ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \） 是向量的模长。
方向余弦具有以下性质：
1. \（ \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 \），因为它们代表的是向量与坐标轴之间的关系，且向量长度为1（单位向量）。
方向余弦矩阵是由两组不同的标准正交基的基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵，可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的关系，也可以用来表达一个向量对于另一组标准正交基的方向余弦。
示例
假设有一个向量 \（ \mathbf{v} = （v_x, v_y, v_z） \），其方向余弦为：
\[
\mathbf{c} = \left（ \frac{v_x}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}}, \frac{v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}}, \frac{v_z}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}} \right）
\]
通过计算方向余弦，我们可以了解向量在各个坐标轴上的投影值，以及向量与坐标轴之间的夹角关系。