离散型随机变量的均值（数学期望）和方差是描述其分布特征的重要统计量。
均值（数学期望）
定义：均值是离散型随机变量所有可能取值与其对应概率乘积的和。对于离散型随机变量 $X$ ，其均值 $E（X）$ 定义为：
$$
E（X） = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
其中，$x_i$ 是 $X$ 的取值，$p_i$ 是 $X$ 取 $x_i$ 的概率，$n$ 是所有可能取值的总数。
性质：
$E（C） = C$，其中 $C$ 是常数。
若 $Y = aX + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，则 $E（Y） = aE（X） + b$。
若 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立，则 $E（X_1 \cdot X_2） = E（X_1） \cdot E（X_2）$。
方差
定义：方差是离散型随机变量与其均值之间平均偏离程度的度量。方差 $D（X）$ 定义为：
$$
D（X） = E[（X - E（X））^2]
$$
或者等价地，
$$
D（X） = \sum_{i=1}^{n} （x_i - E（X））^2 p_i
$$
性质：
若 $Y = aX + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，则 $D（Y） = a^2 D（X）$。
方差的算术平方根是标准差 $\sigma$，即 $\sigma = \sqrt{D（X）}$。
计算步骤
理解随机变量 $X$ 的意义 ，并写出 $X$ 可能取的全部值。求 $X$ 取每个值时的概率
。
写出 $X$ 的分布列。
由均值的定义求 $E（X）$
$$
E（X） = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
由方差的定义求 $D（X）$
$$
D（X） = \sum_{i=1}^{n} （x_i - E（X））^2 p_i
$$
示例
假设随机变量 $X$ 表示掷一枚骰子出现的点数，其概率分布函数为 $P（X=x） = \frac{1}{6}$，对于 $x = 1, 2, 3, 4, 5, 6$，则：
均值 $E（X） = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$
方差 $D（X） = \sum_{i=1}^{6} （x_i - 3.5）^2 \cdot \frac{1}{6} = （1-3.5）^2 \cdot \frac{1}{6} + （2-3.5）^2 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + （6-3.5）^2 \cdot \frac{1}{6} = 2.9167$
通过上述步骤和示例，可以计算出离散型随机变量的均值和方差，并理解其物理意义和应用。