非欧几何是一类与欧几里得几何不同的几何体系，主要包括罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼几何。它们的核心区别在于对欧几里得几何中的第五公设（平行公设）的修改或放弃。在欧几里得几何中，这条公设表述为：“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。”然而，在非欧几何中，这一公设不再成立，从而导致了不同的几何结构。
非欧几何的起源可以追溯到19世纪，当时罗巴切夫斯基和鲍耶几乎同时独立地发展了双曲几何。鲍耶在1802年出生于奥匈帝国的科洛兹堡，并在1826年宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文。罗巴切夫斯基在1829年也发表了相关论文，正式提出了非欧几何的概念。
非欧几何不仅在数学上具有重要意义，而且对现代自然科学和数学的发展产生了深远影响。广义相对论中的时空几何就是一个典型的例子，它表明在引力场的影响下，时空可以呈现非欧几何性质。
非欧几何主要分为两种类型：
双曲几何：
在这种几何中，过直线外一点可以作无数条平行线。
椭圆几何（黎曼几何）：在球面几何中，过直线外一点不能作任何平行线，所有直线相交。
尽管非欧几何与我们的日常经验似乎相悖，但它在数学上是自洽的，并且已经在物理学和其他科学领域得到了应用。高斯在1792年就已经提出了非欧几何的雏形，并在1817年成熟了这一思想，他称之为“反欧几何”或“星空几何”。
总的来说，非欧几何是对欧几里得几何的重要补充和发展，展示了数学世界的多样性和丰富性。