均值不等式，也称为算术-几何平均不等式（AM-GM不等式），是数学中的一个重要工具，用于比较不同数的平均值。它表明对于所有非负实数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数。均值不等式的公式如下：
算术平均数-几何平均数不等式 （AM-GM不等式）：
\[
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}
\]
其中，等号成立当且仅当 \（a = b\）。
平方平均数-算术平均数不等式
\[
\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \frac{a+b}{2}
\]
等号成立当且仅当 \（a = b\）。
算术平均数-平方平均数不等式
\[
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}
\]
等号成立当且仅当 \（a = b\）。
几何平均数-调和平均数不等式
\[
\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \geq \frac{ab}{a+b}
\]
等号成立当且仅当 \（a = b\）。
这些不等式在数学的许多领域中都有广泛的应用，包括金融、统计学和优化问题等。它们提供了一种比较不同数值集合平均值的方法，并在某些情况下给出了这些平均值之间的精确关系。