平方和公式用于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数或金字塔数，也就是正方形数的级数。公式如下：
平方和公式
$$
1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
推导过程
当 $n = 1$ 时， $1 = \frac{1（1+1）（2 \times 1 + 1）}{6} = \frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$，公式成立。
假设当 $n = k$ 时，公式成立，即 $1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$。
当 $n = k + 1$ 时，
$$
1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2
$$
$$
= (k+1)\left(\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)\right)
$$
$$
= (k+1)\left(\frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)}{6}\right)
$$
$$
= (k+1)\left(\frac{(k+1)(2k^2 + k + 6)}{6}\right)
$$
$$
= (k+1)\left(\frac{(k+1)(2k+1) + 6(k+1)}{6}\right)
$$
$$
= (k+1)\left(\frac{(k+1)(2k+3)}{6}\right)
$$
$$
= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
$$
因此，公式对 $n = k + 1$ 也成立。
综上所述，平方和公式为：
$$
1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
此公式是冯哈伯公式的一个特例。