初等函数在其定义域内都是 连续的。具体来说，初等函数在其定义域内不仅连续，而且可导。这是因为初等函数是由基本初等函数通过有限次的四则运算和复合运算得到的，而基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）在其定义域内都是连续且可导的。因此，复合后的初等函数也继承了这些性质，即在定义域内连续且可导。
需要注意的是，虽然初等函数在其定义域内连续且可导，但并不是所有初等函数在其定义域内的每一点都可导。例如，函数 $y = \sqrt{x^2}$ 在 $x = 0$ 处是不可导的，尽管它是初等函数。
综上所述，初等函数在其定义域内是连续的，并且大多数情况下也是可导的，但具体情况还需具体分析。