焦点三角形面积公式的推导过程如下：
设定变量和已知条件
设焦点为 $F_1$ 和 $F_2$，且 $\angle F_1PF_2 = \theta$。
设 $P$ 为椭圆上的任意一点，且 $PF_1 = m$，$PF_2 = n$。
根据椭圆的定义，$m + n = 2a$。
应用余弦定理
在 $\triangle F_1PF_2$ 中，由余弦定理得：
$$
（F_1F_2）^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cos \theta
$$
其中 $F_1F_2 = 2c$，所以：
$$
4c^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cos \theta。
$$
代入已知条件
由于 $m + n = 2a$，我们有：
$$
（m + n）^2 = 4a^2
$$
展开得：
$$
m^2 + n^2 + 2mn = 4a^2
$$
代入余弦定理的等式中：
$$
4c^2 = 4a^2 - 2mn（1 + \cos \theta）
$$
整理得：
$$
2mn（1 + \cos \theta） = 4a^2 - 4c^2 = 4b^2
$$
所以：
$$
mn = \frac{2b^2}{1 + \cos \theta}
$$
计算三角形面积
三角形的面积公式为：
$$
S = \frac{1}{2} mn \sin \theta
$$
代入 $mn$ 的值：
$$
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2b^2}{1 + \cos \theta} \cdot \sin \theta = \frac{b^2 \sin \theta}{1 + \cos \theta}
$$
利用三角恒等式
利用三角恒等式 $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ 和 $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$，我们可以将面积公式进一步简化为：
$$
S = b^2 \cdot \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}} = b^2 \cdot \tan \frac{\theta}{2}
$$
因此，焦点三角形的面积公式为：
$$
S = \frac{b^2 \tan \frac{\theta}{2}}{1 + \cos \theta}
$$
这个公式适用于椭圆和双曲线上的焦点三角形。