泰勒公式展开是一种将函数表示为无限项幂级数的方法，常用于近似计算和理论分析。以下是一些常用的泰勒展开公式：
指数函数
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots
\]
正弦函数
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + （-1）^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{（2n-1）!} + \cdots
\]
余弦函数
\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + （-1）^n \frac{x^{2n}}{（2n）!} + \cdots
\]
对数函数
\[
\ln（1+x） = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + （-1）^{n-1} \frac{x^n}{n} + \cdots \quad （|x| < 1）
\]
反正弦函数
\[
\arcsin x = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots + \frac{（2k-1）!!}{2k!!} \cdot \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + \cdots \quad （|x| < 1）
\]
反余弦函数
\[
\arccos x = \frac{\pi}{2} - \left（ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots + \frac{（2k-1）!!}{2k!!} \cdot \frac{x^{2k+1}}{2k+1} + \cdots \right） \quad （|x| < 1）
\]
反正切函数
\[
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + （-1）^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{2n-1} + \cdots \quad （|x| < 1）
\]
双曲正弦函数
\[
\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots + \frac{x^{2n-1}}{（2n-1）!} + \cdots
\]
双曲余弦函数
\[
\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots + \frac{x^{2n}}{（2n）!} + \cdots
\]
双曲反正弦函数
\[
\arcsinh x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{40} - \frac{x^7}{112} + \cdots + （-1）^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{（2n-1）（2n^2-1）} + \cdots \quad （|x| < 1）
\]
双曲反余弦函数
\[
\arccosh x = \ln（x + \sqrt{x^2 - 1}） = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots + \frac{5x^7}{112} + \cdots \quad （x