银行存款遗产继承的合法流程如下：
向公证处或人民法院申请继承权证明书
存款人死亡后，合法继承人应向银行营业网点所在地的公证处或人民法院申请办理继承权证明书。
若存款的继承权有争执，合法继承人则应持人民法院的判决书、裁定书或调解书去银行办理存款过户或支取手续。
提供必要材料
申请办理继承权公证书时，需提供继承人的身份证明（户口本、身份证）和被继承人死亡证明（如死亡证、骨灰证、火化凭单等）。
-还需提供合法继承人单位或所属街道办、派出所出具的家庭亲属关系证明，以及被继承人的遗产凭证（存折）。
若非本地继承人放弃继承，需提交放弃继承声明公证书；若被继承人生前立有遗嘱，则提交遗嘱。
办理存款过户或支付手续
根据继承权公证书到存款机构（通常是银行）办理存款过户或支付、取出、转账手续。
银行可能需要对死者的银行卡或存折、存单等进行处理，如注销或过户。
国外继承人的特殊处理
国外华侨、港澳台同胞和在我国定居的外国公民（包括无国籍者），在国内银行存款或委托银行代为保管存款，被继承人死亡后，其合法继承人在国内的，凭被继承人的死亡证明向存款银行所在地的公证处申请办理继承权公证，银行凭继承公证书办理存款过户或支付手续。
继承人在国外的，可凭被继承人的死亡证明和经我国驻该国使馆、领馆认证的亲属证明，向我国公证机关申请办理继承权证明书，银行据以办理存款继承手续。
建议：
继承人应尽早向公证处或人民法院申请办理继承权证明书，以避免因手续拖延导致存款无法及时过户或支取。
若存在继承权争议，应尽快通过法律途径解决，以便及时办理存款继承手续。