三元一次方程组的解法主要有以下几种：
消元法
代入消元法：通过已知的方程，将一个未知数表示为另外两个未知数的表达式，然后代入其他方程中求解。
加减消元法：通过将方程相加或相减，消去一个未知数，从而得到一个二元一次方程组，再解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值，最后代入原方程求出第三个未知数。
矩阵方法
高斯消元法：将三元一次方程组转化为简化阶梯矩阵，然后通过向后代入法求解未知数的值。
矩阵的逆或伴随矩阵：将方程转化为矩阵形式，利用矩阵的逆或伴随矩阵求解未知数的值。
卡尔丹公式法
对于标准型的一元三次方程 \（ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \）（其中 \（ a, b, c, d \in \mathbb{R}, a \neq 0 \）），可以使用卡尔丹公式法求解。
具体步骤示例
对于三元一次方程组：
\[
\begin{cases}
x + y + z = 10 & \text{①} \\
2x + y - z = 5 & \text{②} \\
x - y = 1 & \text{③}
\end{cases}
\]
选择方程：
选择方程②和③进行消元，得到：
\[
2x + y - z = 5 \\
x - y = 1
\]
消元：
将方程③乘以2，然后与方程②相加，消去 \（ y \）：
\[
2（x - y） + （2x + y - z） = 2 \cdot 1 + 5 \\
4x - y - z = 7
\]
\[
4x - z = 7 \quad \text{④}
\]
代入求解：
将方程③代入方程④，求出 \（ z \）：
\[
4x - （x - 1） = 7 \\
3x = 6 \\
x = 2
\]
回代：
将 \（ x = 2 \） 代入方程③，求出 \（ y \）：
\[
2 - y = 1 \\
y = 1
\]
验证：
将 \（ x = 2 \） 和 \（ y = 1 \） 代入方程①，求出 \（ z \）：
\[
2 + 1 + z = 10 \\
z = 7
\]
因此，方程组的解为 \（ x = 2, y = 1, z = 7 \）。
建议
选择合适的消元策略：根据方程的具体形式选择代入消元法或加减消元法。
利用矩阵方法：对于复杂方程组，可以考虑使用高斯消元法或矩阵的逆、伴随矩阵来求解。
注意验证：在求解过程中，务必将求得的解代入原方程组进行验证，以确保解的正确性。