等价无穷小替换公式是微积分中用于简化计算过程的一种方法，通过将复杂的函数或表达式替换为更简单的等价形式。以下是一些常用的等价无穷小替换公式：
基本等价无穷小替换
当 \（ x \to 0 \） 时：
\（ \sin x \sim x \）
\（ \tan x \sim x \）
\（ \arcsin x \sim x \）
\（ \arctan x \sim x \）
\（ e^x - 1 \sim x \）
\（ \ln（1 + x） \sim x \）
\（ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \）
幂函数的等价无穷小替换
当 \（ x \to 0 \） 时：
\（ （1 + bx）^a - 1 \sim abx \）
\（ （1 + x）^{1/n} - 1 \sim \frac{1}{n}x \）
对数函数的等价无穷小替换
当 \（ x \to 0 \） 时：
\（ \log_a（1 + x） \sim \frac{x}{\ln a} \）
复合函数的等价无穷小替换
当 \（ x \to 0 \） 时：
\（ 1 - \cos（x^2） \sim \frac{1}{2}x^4 \）
其他特定情况下的等价无穷小替换
当 \（ x \to -\infty \） 时：
\（ -\ln（1 + x） \sim \ln（-x） \）
\（ -e^{x} - 1 \sim -e^x \）
\（ -x^a \sim 0 \） （其中 \（ a \） 是常数）
使用等价无穷小替换的注意事项：
适用条件：
等价无穷小替换只能在求极限的过程中使用，特别是当分子和分母都趋向于0或无穷大时。
替换范围：
一般情况下，等价无穷小替换适用于乘除运算，不适用于加减运算。
误差分析：
虽然等价无穷小替换可以简化计算，但可能会引入一定的误差。因此，在使用时需要仔细分析误差，确保结果的准确性。
示例：
求极限 \（ \lim_{x \to 0} \frac{\sin（2x）}{3x} \）：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin（2x）}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}
\]
这里我们直接使用了等价无穷小替换 \（ \sin x \sim x \）。
通过掌握这些等价无穷小替换公式，可以大大简化极限计算的过程，提高解题效率。