二项式定理，也称为牛顿二项式定理，是由艾萨克·牛顿在1664-1665年间提出的数学定理。它描述了两个数之和的整数次幂可以展开为一系列项的和，每一项都是a和b的幂次乘积，并且每一项的系数是一个特定的组合数。
二项式定理的公式如下：
\[
（a + b）^n = C（n,0）a^n + C（n,1）a^{n-1}b + C（n,2）a^{n-2}b^2 + \ldots + C（n,i）a^{n-i}b^i + \ldots + C（n,n）b^n
\]
其中，
\（ C（n,i） \） 表示从n个元素中任取i个的组合数，计算公式为 \（ C（n,i） = \frac{n!}{i!（n-i）!} \）。
这个公式可以用于展开形如 \（ （a+b）^n \） 的二项式，其中n是一个非负整数。展开后得到的每一项都是a和b的幂次乘积，并且每一项的系数是一个特定的组合数，这个组合数表示从n个元素中选取i个元素的方式数。
示例
假设我们要展开 \（ （x + y）^3 \）：
\[
（x + y）^3 = C（3,0）x^3 + C（3,1）x^2y + C（3,2）xy^2 + C（3,3）y^3
\]
计算组合数：
\[
C（3,0） = 1, \quad C（3,1） = 3, \quad C（3,2） = 3, \quad C（3,3） = 1
\]
因此，展开式为：
\[
（x + y）^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
\]
这个例子展示了如何应用二项式定理来展开一个具体的二项式。通过这种方式，我们可以将复杂的数学表达式简化为更易于处理的形式。