面面垂直的证明方法有以下几种：
利用法向量的垂直关系
两个平面的法向量之间的向量积结果为零，则说明两个平面是垂直的。
利用面面垂直的判定定理
在一个平面内有两条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。
利用二面角的性质
如果两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。
利用对角线的点积
如果两个平面的对角线点积为零，则这两个平面垂直。
利用垂线与平面的关系
如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
利用平行关系与垂直关系
线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线。
具体证明步骤示例
示例1：利用法向量的垂直关系
1. 设平面α的法向量为 $\mathbf{n}_1$，平面β的法向量为 $\mathbf{n}_2$。
2. 计算 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$ 的向量积 $\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$。
3. 如果 $\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \mathbf{0}$，则平面α垂直于平面β。
示例2：利用面面垂直的判定定理
1. 在平面α内找到两条相交直线 $l_1$ 和 $l_2$。
2. 在平面β内找到一条直线 $m$，使得 $m \perp l_1$ 且 $m \perp l_2$。
3. 由于 $l_1$ 和 $l_2$ 在平面α内相交，且直线 $m$ 在平面β内垂直于这两条直线，根据判定定理，平面α垂直于平面β。
示例3：利用对角线的点积
1. 设平面α和平面β的对角线分别为 $\mathbf{d}_1$ 和 $\mathbf{d}_2$。
2. 计算 $\mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2$。
3. 如果 $\mathbf{d}_1 \cdot \mathbf{d}_2 = 0$，则平面α垂直于平面β。
这些方法可以根据具体问题的条件和已知信息选择使用，选择最合适的方法可以更简洁地证明面面垂直。