二次函数的一般形式为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a \neq 0$。其顶点坐标可以通过以下公式计算：
顶点坐标公式
顶点的横坐标 $h = -\frac{b}{2a}$
顶点的纵坐标 $k = \frac{4ac - b^2}{4a}$
因此，顶点坐标为 $\left（ -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right）$。
解释
横坐标 $h$：通过将二次项和一次项结合，我们可以将方程写成完全平方的形式，从而找到顶点的横坐标。具体地，将 $y = ax^2 + bx + c$ 改写为 $y = a（x^2 + \frac{b}{a}x） + c$，然后通过添加和减去 $\left（\frac{b}{2a}\right）^2$，得到 $y = a（x^2 + \frac{b}{a}x + \left（\frac{b}{2a}\right）^2 - \left（\frac{b}{2a}\right）^2） + c$，即 $y = a（x + \frac{b}{2a}）^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。因此，顶点的横坐标为 $h = -\frac{b}{2a}$。
纵坐标 $k$：将 $h = -\frac{b}{2a}$ 代入原方程 $y = ax^2 + bx + c$，得到顶点的纵坐标为 $k = a\left（-\frac{b}{2a}\right）^2 + b\left（-\frac{b}{2a}\right） + c = \frac{4ac - b^2}{4a}$。
应用
顶点坐标在几何和函数分析中非常重要，因为它们可以帮助我们确定抛物线的最高点或最低点，以及对称轴的位置。通过顶点坐标，我们可以更好地理解二次函数的图像和性质。