组合概率的计算公式是用于计算从n个元素中选取k个元素的组合中,满足特定条件的组合数占总组合数的比例。具体公式如下:
组合数公式
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$
其中,$n!$ 表示n的阶乘,即从1乘到n的乘积;$k!$ 表示k的阶乘,即从1乘到k的乘积;$(n-k)!$ 表示$n-k$的阶乘,即从1乘到$n-k$的乘积。
组合概率公式
$$
P(A) = \frac{C(n, k) \cdot P(A|k, m)}{C(n, k)}
$$
其中,$P(A)$ 表示事件A发生的概率,$C(n, k)$ 表示从n个元素中选取k个元素的组合数,$P(A|k, m)$ 表示在选取了k个元素且其中至少有m个元素满足条件的条件下,事件A发生的概率。
示例
假设有10个元素,从中选取3个元素,并且要求这3个元素中至少有2个元素是偶数。我们可以使用上述公式来计算这一事件的概率。
计算组合数
$$
C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120
$$
计算满足条件的组合数
选取2个偶数和1个奇数的组合数:
$$
C(5, 2) \times C(5, 1) = \frac{5!}{2!(5-2)!} \times \frac{5!}{1!(5-1)!} = 10 \times 5 = 50
$$
选取3个偶数的组合数:
$$
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10
$$
因此,满足条件的组合数总和为:
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50 + 10 = 60
$$
计算概率
$$
P(A) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}
$$
所以,从10个元素中选取3个元素,并且这3个元素中至少有2个元素是偶数的概率为 $\frac{1}{2}$。