三角形四心的向量表示及证明如下：
外心（Circumcenter）
外心是三角形三边中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
向量表示：
设三角形ABC的顶点为A, B, C，外心为O，则有：
```
OA = OB = OC
```
证明：
设AB, BC的中垂线交于点O，则OA和OB的中点相同，同理OC的中点也是O，所以OA = OB = OC。
垂心（Orthocenter）
垂心是三角形三边高线的交点。
向量表示：
设三角形ABC的顶点为A, B, C，垂心为H，则有：
```
HA * HB = HB * HC = HC * HA
```
证明：
设AD, BE, CF为ΔABC的三条高，过点A, B, C分别作对边的平行线相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′的中垂线；同理BE, CF也分别为A′C′, A′B′的中垂线，由外心定理，它们交于一点，即垂心H。
内心（Incenter）
内心是三角形三内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
向量表示：
设三角形ABC的顶点为A, B, C，内心为I，则有：
```
IA + IB + IC = 0
```
证明：
设a, b, c为三角形ABC的三边长，O为内心，则aOA + bOB + cOC = 0。
重心（Centroid）
重心是三角形三条中线的交点，它将每条中线分为两段，其中一段是另一段的两倍。
向量表示：
设三角形ABC的顶点为A, B, C，重心为G，则有：
```
GA + GB + GC = 0
```
证明：
设G为ABC的重心，则PG = （PA + PB + PC） / 3，即PG = （AG + BG + CG） / 3。
以上是三角形四心的向量表示及证明。