新兵连逃兵的处理方式主要依据《中华人民共和国兵役法》和相关规定，具体处理如下：
部队抓回并教育
部队首先会尝试将逃兵抓回，并进行政治思想教育，让其反省自己的行为。
行政处罚
对于拒绝服兵役的公民，县级人民政府会责令其限期改正；逾期不改的，将强制其履行兵役义务，并可以处以罚款。
逃兵会被录入失信系统，影响个人信用，两年内不得办理升（复）学和出国手续，户口本上会盖上“拒服兵役”的永久字样。
逃兵将取消所有社会福利待遇和荣誉颁授，不能被公务员或事业单位录取。
刑事处罚
在战时逃跑的军人，会受到更严厉的处罚，可能会被判处3年以下的有期徒刑。
逃兵行为构成犯罪的，将依法追究刑事责任。
其他后果
逃兵的行为不仅会影响其个人，还会影响其家庭，特别是如果其监护人父母是国家单位的工作人员，可能会对家庭造成恶劣影响。
综上所述，新兵连逃兵的处理方式包括部队抓回并教育、行政处罚、刑事处罚和其他后果。具体处理方式会根据逃兵的具体情况和行为的严重程度来决定。建议新兵严格遵守兵役法规，履行军人的职责，避免因一时冲动而做出违法行为。