二阶矩阵的逆矩阵公式为：
\[
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}^{-1}
=
\frac{1}{ad - bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\]
其中，矩阵 \（ A = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \） 的逆矩阵 \（ A^{-1} \） 存在当且仅当 \（ ad - bc
eq 0 \）。
详细步骤：
求伴随矩阵
对于二阶矩阵 \（ A = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \），其伴随矩阵 \（ \text{adj}（A） \） 为：
\[
\text{adj}（A） = \begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\]
求逆矩阵
二阶矩阵 \（ A \） 的逆矩阵 \（ A^{-1} \） 可以通过以下公式求得：
\[
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \text{adj}（A）
\]
代入伴随矩阵，得到：
\[
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
\]
示例：
假设有一个二阶矩阵 \（ A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \），求其逆矩阵。
1. 计算行列式 \（ \det（A） = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \）。
2. 由于 \（ \det（A）
eq 0 \），矩阵 \（ A \） 可逆。
3. 计算伴随矩阵：
\[
\text{adj}（A） = \begin{pmatrix}
4 & -2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}
\]
4. 计算逆矩阵：
\[
A^{-1} = \frac{1}{-2}
\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\]
因此，矩阵 \（ A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} \） 的逆矩阵为 \（ A^{-1} = \begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix} \）。