十字相乘法是一种用于因式分解二次三项式的技巧,其基本形式为:
$$x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)$$
其中,$p$ 和 $q$ 是两个数,它们的和等于一次项的系数 $p+q$,它们的积等于常数项 $pq$。
具体步骤如下:
1. 将二次项系数和常数项分别写在十字的左右两边。
2. 将二次项系数和一次项系数中的每个数分别与常数项中的每个数相乘,并将结果写在十字的相应位置。
3. 将十字中所有乘积相加,其和应等于一次项的系数。
4. 如果上述和等于一次项的系数,则十字相乘法成立,原多项式可以分解为两个一次因式的乘积。
例如,对于多项式 $x^2 + 5x - 6$,我们可以找到 $p$ 和 $q$ 使得 $p+q=5$ 且 $pq=-6$。这里 $p=6$ 和 $q=-1$ 满足条件,因此原多项式可以分解为:
$$x^2 + 5x - 6 = (x+6)(x-1)$$
再例如,对于多项式 $6x^2 + 11x - 10$,我们可以找到 $p$ 和 $q$ 使得 $p+q=11$ 且 $pq=-10$。这里 $p=10$ 和 $q=1$ 满足条件,因此原多项式可以分解为:
$$6x^2 + 11x - 10 = (2x+5)(3x-2)$$
十字相乘法的关键在于找到合适的 $p$ 和 $q$,使得它们的和与积分别等于一次项系数和常数项。这种方法适用于整数范围内的因式分解,但对于某些情况,可能需要适当调整系数或使用其他技巧。