正态分布的概率密度函数是一种描述连续型随机变量的概率分布，其表达式为：
\[ f（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{（x-\mu）^2}{2\sigma^2}} \]
其中：
\（ \mu \） 是分布的均值，也称为期望值；
\（ \sigma \） 是标准差；
\（ e \） 是自然对数的底数，约等于 2.71828；
\（ \pi \） 是圆周率，约等于 3.14159。
当 \（ \mu = 0 \） 且 \（ \sigma = 1 \） 时，该正态分布称为标准正态分布，其概率密度函数为：
\[ f（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \]
标准正态分布是关于 \（ x = 0 \） 对称的，并且在 \（ x = 0 \） 处取得最大值。此外，标准正态分布有两个拐点，分别是 \（ x = +1 \） 和 \（ x = -1 \）。
正态分布的概率覆盖范围遵循 68-95-99.7 规则，也称为 3-sigma 规则。这意味着在距离均值一个标准差范围内的取值概率约为 68%，在两个标准差范围内的概率约为 95%，在三个标准差范围内的概率约为 99.7%。
通过将原始随机变量 \（ X \） 转换为标准正态分布变量 \（ Z \），其中 \（ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \），可以方便地计算标准正态分布下的概率。