圆的切线方程有以下几种形式：
过圆上一点的切线方程
设圆的方程为 $（x - a）^2 + （y - b）^2 = r^2$，圆心为 $（a, b）$，半径为 $r$，过点 $P（x_0, y_0）$ 的切线方程为 $（x_0 - a）（x - a） + （y_0 - b）（y - b） = r^2$。
过圆外一点的切线方程
设圆的方程为 $（x - a）^2 + （y - b）^2 = r^2$，圆心为 $（a, b）$，半径为 $r$，过点 $P（x_0, y_0）$ 的切线方程为 $（x_0 - a）（x - a） + （y_0 - b）（y - b） = r^2$。
斜率为 $k$ 的切线方程
设圆的方程为 $（x - a）^2 + （y - b）^2 = r^2$，圆心为 $（a, b）$，半径为 $r$，斜率为 $k$ 的切线方程为 $y = k（x - a） + b \pm \sqrt{r^2 - k^2（x - a）^2}$。
过定点的圆的切线方程
过圆上一点的切线方程为 $x_0x + y_0y = r^2$。
这些公式都是基于圆的几何性质和代数方法推导出来的，可以用于求解不同情况下的圆的切线方程。