重要不等式是在初等与高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。以下是一些常见的重要不等式：
排序不等式：
对于任意两个实数序列，按照从小到大的顺序排列后，它们的对应项乘积的和大于等于乱序乘积的和。
均值不等式：
对于所有非负实数，它们的算术平均数大于等于几何平均数，几何平均数大于等于调和平均数。
完全的均值不等式：
也称为AM-GM不等式，对于所有非负实数，算术平均数大于等于几何平均数，且当且仅当所有数相等时等号成立。
幂平均不等式：
对于所有非负实数，幂平均数大于等于几何平均数，且当且仅当所有数相等时等号成立。
权方和不等式：
对于所有非负实数，加权算术平均数大于等于加权几何平均数，且当且仅当所有权重相等时等号成立。
柯西不等式：
对于任意两组实数，它们的点积的平方大于等于它们各自的平方和的乘积，等号成立当且仅当两组数成比例。
切比雪夫不等式：
对于任意实数序列，其方差与均值的差的绝对值大于等于一个常数乘以标准差，等号成立当且仅当所有数相等。
琴生不等式：
对于所有非负实数，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数的对数，等号成立当且仅当所有数相等。
三角形不等式：
对于任意三角形，任意两边之和大于第三边。
赫尔德不等式：
在泛函分析中，对于非负实数序列和正实数权重，有加权算术平均数大于等于加权几何平均数，等号成立当且仅当所有权重相等。
这些不等式在数学的各个领域都有广泛的应用，包括代数、几何、分析等。它们不仅是解决具体问题的有力工具，也是推导其他不等式和定理的基础。