牛顿-莱布尼茨公式，也被称为微积分基本定理，是连接微积分的两个主要分支——微分学和积分学的关键公式。这个公式表明，如果一个函数在某区间上是连续的，并且存在原函数，那么该函数在这个区间上的定积分可以通过计算其原函数在该区间的两个端点处的值之差来得到。
定积分与被积函数的原函数之间的联系
牛顿-莱布尼茨公式揭示了定积分与其被积函数的原函数之间的关系。具体来说，如果我们有一个在区间[a, b]上连续的函数f（x），并且F（x）是f（x）的一个原函数，那么f（x）在区间[a, b]上的定积分可以通过计算F（b）和F（a）之间的差来得到。数学上，这可以表示为：
∫[a, b] f（x） dx = F（b） - F（a）
公式的推导
牛顿-莱布尼茨公式的推导可以通过多种方法，包括定义变上限积分函数和应用积分中值定理来进行。其中一种推导方法是通过定义一个变上限积分函数，并利用积分中值定理来证明等式成立。
公式的意义和应用
牛顿-莱布尼茨公式的发现，为计算定积分提供了一个有效而简便的方法，极大地简化了计算过程。这个公式不仅适用于数学分析，也在物理学、工程学和其他科学领域中有着广泛的应用，它帮助人们解决了曲线的长度、曲线围成的面积和曲面围成的体积等问题。
命名由来
关于“牛顿-莱布尼茨公式”的命名，虽然莱布尼茨在微积分的发展中也起到了关键作用，但由于牛顿在力学和物理学上的重要贡献，特别是在微积分的研究中采用了与这些领域相关的应用，因此这个公式通常被称为“牛顿-莱布尼茨公式”。
综上所述，牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个基本定理，它提供了一种快速计算定积分的方法，并且有着广泛的应用。