方向余弦是 用于描述向量与坐标轴之间夹角余弦值的量。在三维空间中，方向余弦通过计算向量的坐标与坐标轴正向之间的夹角得出，用于表达向量在空间中的方向特性，并可用于求向量在各个坐标轴上的投影值。
方向余弦的计算公式如下：
对于二维空间中的向量 （a, b），其方向余弦分别为：
$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ （与x轴的夹角余弦）
$\cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ （与y轴的夹角余弦）
这些余弦值满足 $（\cos\alpha）^2 + （\cos\beta）^2 = 1$ 的性质。
对于三维空间中的向量 $\vec{v} = （x, y, z）$，其方向余弦分别为：
$\cos\alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ （与x轴的夹角余弦）
$\cos\beta = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ （与y轴的夹角余弦）
$\cos\gamma = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ （与z轴的夹角余弦）
这些余弦值满足 $（\cos\alpha）^2 + （\cos\beta）^2 + （\cos\gamma）^2 = 1$ 的性质。
方向余弦矩阵是由两组不同的标准正交基的基底向量之间的方向余弦所形成的矩阵，可以用来表达一组标准正交基与另一组标准正交基之间的关系，也可以用来表达一个向量对于另一组标准正交基的方向余弦。
通过方向余弦，我们可以确定向量的方向，这在解析几何、物理学、工程学等领域有广泛应用。例如，在机器人学中，方向余弦用于描述机器人末端执行器相对于不同坐标轴的方向；在计算机图形学中，方向余弦用于光照计算和碰撞检测等。