死刑复核程序的启动是 自动启动的，无需任何一方提出申请。具体启动条件如下：
中级人民法院判处死刑的第一审案件
被告人在法定期限内未提出上诉。
人民检察院未提出抗诉。
案件应在上诉、抗诉期满后的十日内报请高级人民法院复核。
高级人民法院判处死刑的第一审案件
被告人在法定期限内未提出上诉。
人民检察院未提出抗诉。
案件应直接报请最高人民法院核准。
高级人民法院判处死刑缓期二年执行的案件
由高级人民法院直接核准，无需报请最高人民法院。
最高人民法院直接处理的情形
最高人民法院自身作为一审或二审法院作出死刑判决时，这些判决本身就是终审判决，不需要再经过额外的核准程序。
总结来说，死刑复核程序的启动主要依赖于中级人民法院在作出死刑判决后，若被告人未上诉且人民检察院未抗诉，案件会自动进入复核程序，并依次报请高级人民法院或最高人民法院进行核准。