有权监控手机的部门是 公安机关。公安机关在立案后，对于危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪、黑社会性质的组织犯罪、重大毒品犯罪或其他严重危害社会的犯罪案件，根据侦查犯罪的需要，经过严格的批准手续，可以采取技术侦查措施，包括监控手机通话记录、短信、微信、位置和上网记录等。
具体执行监控的部门包括技侦部门和网监部门。技侦部门负责监听、追踪、定位和入侵等，而网监部门则负责上网内容的监控。
需要注意的是，监控手机必须遵循严格的法律程序，包括获得相应的批准手续，并且要尊重公民的通信自由权和秘密权。除了公安机关，其他部门如纪检部门在特定情况下也可以查手机，但门槛较高，必须以监委名义进行，并且需遵循严格审批程序。
综上所述，公安机关是负责监控手机的主要部门，其他部门在特定条件下也可参与，但需遵守相关法律法规和程序。