有权监听手机的部门包括 公安机关和人民检察院。
公安机关
公安机关在立案后，对于危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪、黑社会性质的组织犯罪、重大毒品犯罪或其他严重危害社会的犯罪案件，根据侦查犯罪的需要，经过严格的批准手续，可以采取技术侦查措施，包括手机监听。
公安机关监听手机需要经过县级以上公安机关负责人的批准，并且通常由地级以上公安机关或经济条件相对较好的省市县级公安机关执行。
人民检察院
人民检察院在直接办理的案件立案后，对于属于利用职权实施的严重侵犯公民人身权利的重大犯罪案件，根据办案取证的需要，也可以采取技术侦查措施，包括手机监听。这些措施需要按照规定交有关机关执行。
总结：
公安机关和 人民检察院在特定情况下均有权监听手机，但都必须遵循《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，并经过严格的审批手续。