公安机关立案后的侦查期限一般不得超过 两个月。根据《刑事诉讼法》第一百五十六条的规定，对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。
具体来说，公安机关在立案后会进行侦查，通常情况下，侦查期限为两个月。如果案件较为复杂或存在特殊情况，可以向人民检察院申请延长一个月。对于特别重大或复杂的案件，如交通十分不便的边远地区的重大复杂案件、重大的犯罪集团案件、流窜作案的重大复杂案件和犯罪涉及面广、取证困难的重大复杂案件，若在规定的期限内无法侦查终结，经省、自治区、直辖市人民检察院批准，可以延长二个月。
此外，刑事案件立案审查期限原则上不超过3日，涉嫌犯罪线索需要查证的，立案审查期限不超过7日，重大疑难复杂案件，经县级以上公安机关负责人批准，立案审查期限可以延长至30日。
综上所述，公安机关立案后的侦查期限一般为两个月，但在特殊情况下，可以依法延长。