球的体积公式为 \（ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \），其中 \（ r \） 是球的半径。以下是几种推导该公式的方法：
方法一：通过圆柱和圆锥的体积差
构造圆柱和圆锥
做一个底面半径为 \（ R \）、高为 \（ R \） 的圆柱。
在该圆柱内挖去一个底面半径为 \（ R \）、高为 \（ R \） 的圆锥。
计算体积差
圆柱的体积 \（ V_{\text{柱}} = \pi R^2 \times R = \pi R^3 \）。
圆锥的体积 \（ V_{\text{锥}} = \frac{1}{3} \pi R^2 \times R = \frac{1}{3} \pi R^3 \）。
两者的体积差为 \（ V_{\text{柱}} - V_{\text{锥}} = \pi R^3 - \frac{1}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi R^3 \）。
得出半球体积
被挖去的圆锥体积即为半球的体积，即 \（ \frac{2}{3} \pi R^3 \）。
因此，整个球的体积为 \（ 2 \times \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R^3 \）。
方法二：通过祖暅原理
祖暅原理
夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的两个截面面积相等，那么这两个立体图形的体积相等。
构造圆柱和半球
将一个底面半径为 \（ R \）、高为 \（ R \） 的圆柱体挖去一个底面半径为 \（ R \）、高为 \（ R \） 的圆锥体。
圆柱体的底面半径为 \（ R \），圆锥体的底面半径也为 \（ R \）。
应用祖暅原理
圆柱体的底面积等于圆锥体的底面积，且它们的高相等。
因此，圆柱体和圆锥体的体积相等，即 \（ \pi R^3 - \frac{1}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi R^3 \）。
得出半球体积
被挖去的圆锥体体积即为半球的体积，即 \（ \frac{2}{3} \pi R^3 \）。
因此，整个球的体积为 \（ 2 \times \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R^3 \）。
方法三：通过积分
球坐标系
在球坐标系中，球的体积元素为 \（ dv = \frac{4}{3} \pi R^3 \sin^2 \theta \, d\theta \, d\phi \）。
通过积分可得球的体积：
\[
V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R \frac{4}{3} \pi R^3 \sin^2 \theta \, r^2 \, dr \, d\theta \, d\phi = \frac{4}{3} \pi R^3 \int_0^{2\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \int_0^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \int_0^R r^2 \, dr = \frac{4}{3} \pi R^3
\]
方法四：通过旋转体体积公式
旋转体体积公式
球体可以看作是由无数个薄圆盘旋转而成。
每个薄圆盘的体积为 \（ \pi （R/n）^2 \times （2R/n） = \frac{2}{3} \pi R^3 \）。
当 \（ n \） 趋向于无穷大时，薄圆盘的体积和即为球的体积 \（ \frac{4}{3} \pi R^3 \）。
通过以上几种方法，我们可以推导出球的体积公式 \（ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \）。