正态分布，也称“常态分布”或“高斯分布”，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布。它由法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre）和德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）独立发现，并且因其曲线形状酷似钟形，也被称为“钟形曲线”。
正态分布的基础定义
一维正态分布是指随机变量服从一个位置参数为μ、尺度参数为σ的概率分布，其概率密度函数为：
$$f（x） = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{（x-\mu）^2}{2\sigma^2}}$$
当μ = 0, σ = 1时，该正态分布称为标准正态分布，记作N（0,1）。
正态分布的性质
对称性：
正态分布的曲线是关于其均值μ对称的。
单峰性：
正态分布的曲线呈单峰形态，峰值位于均值μ处。
集中性：
大部分数据集中在均值附近，远离均值的数据出现的可能性逐渐减小。
钟形曲线：
正态分布的概率密度函数呈钟形，两头低，中间高。
正态分布的应用
正态分布在统计学、自然科学、社会科学、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。例如，在质量控制中，产品尺寸通常服从正态分布；在金融领域，股票价格的变动也常被建模为正态分布。
正态分布的标准化
任何正态分布都可以通过Z-score（标准分数）转换为标准正态分布。Z-score的计算公式为：
$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$
其中，X是原始分数，μ是均值，σ是标准差。
正态分布的重要性
正态分布因其独特的数学性质和广泛的应用场景，在统计学的许多方面有着重大的影响力。例如，中心极限定理表明，在适当的条件下，大量独立随机变量的和将近似服从正态分布。这一性质使得正态分布在统计学中成为了一个非常重要的工具。
综上所述，正态分布是一种在多个领域中都有重要应用的对称、单峰概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有广泛的应用和重要的数学性质。