特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，用于描述线性变换对某些特定向量的作用效果。
特征值（Eigenvalue）
定义：设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，如果存在一个非零向量 $\vec{v}$ 和一个标量 $\lambda$，使得 $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$，则称 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$\vec{v}$ 是 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。
数学表达：$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$。
直观理解：特征值表示线性变换在某个方向上的缩放比例，特征向量表示在该方向上不发生旋转的向量方向。
特征向量（Eigenvector）
定义：如果一个向量 $\vec{v}$ 经过某个线性变换 $A$ 后，只是长度改变了但方向没变，那么这个向量就是该线性变换的一个特征向量，而长度的改变比例就是对应的特征值。
数学表达：$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$，其中 $\vec{v}$ 是非零向量，$\lambda$ 是标量。
直观理解：特征向量是在线性变换下保持方向不变的向量，特征值是描述这种伸缩的幅度。
特征向量的核心属性
方向不变：特征向量在变换前后指向一致。
长度改变：特征向量的长度在变换后按比例改变，这个比例就是特征值。
多个特征向量：一个线性变换可能有多个方向不变的不同特征向量，每个特征向量对应一个不同的特征值。
特征空间
定义：由所有特征向量张成的空间称为特征空间，记为 $\text{span}（\vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots）$。
直观理解：特征空间是由所有不变方向（即特征向量）组成的集合。
应用
数据分析：特征值和特征向量在数据分析中用于降维、特征提取、协方差矩阵分析等任务。
图像处理：在图像处理中用于图像滤波、特征检测等。
动力学：在动力学中用于研究系统的振动频率和稳定性。
总结：
特征值和特征向量是描述线性变换对特定向量作用效果的重要工具。特征向量在线性变换下保持方向不变，仅发生长度上的伸缩，而特征值则量化了这种伸缩的幅度。通过特征值和特征向量，可以更好地理解和分析线性变换的性质，这在许多实际应用中都非常重要，如数据分析、图像处理和动力学等。