齐次微分方程

齐次微分方程是一类特殊的微分方程，其标准形式为：

\[ y' = f\left（\frac{y}{x}\right） \]

其中 \（ f \） 是已知的连续函数。这类方程可以通过变量替换 \（ u = \frac{y}{x} \） 转换为关于 \（ u \） 和 \（ x \） 的可分离变量的方程。具体步骤如下：

1. 令 \（ u = \frac{y}{x} \），则 \（ y = ux \）。

2. 对 \（ y = ux \） 求导，得到 \（ y' = u + xu' \）。

3. 将 \（ y' = u + xu' \） 代入原方程 \（ y' = f\left（\frac{y}{x}\right） \），得到：

\[ u + xu' = f（u） \]

4. 分离变量，得到：

\[ \frac{du}{f（u） - u} = \frac{dx}{x} \]

5. 对两边积分，得到：

\[ \int \frac{du}{f（u） - u} = \int \frac{dx}{x} \]

6. 积分结果可以进一步求解 \（ u \） 和 \（ y \）。

需要注意的是，最后应将 \（ u = \frac{y}{x} \） 代回，并作必要的变形以得到最终解。

齐次微分方程的一个重要特性是，如果它的一个解乘以任意常数后，仍是它的解，则称为齐次微分方程。

总结：

齐次微分方程的标准形式为 \（ y' = f\left（\frac{y}{x}\right） \）。

通过变量替换 \（ u = \frac{y}{x} \） 可以将其转换为可分离变量的方程。

齐次微分方程的解具有线性性质，即解的任意常数倍仍然是解。