绝对值不等式是数学中的一个重要概念，用于描述两个数在数轴上与原点的距离关系。绝对值不等式的公式为：
$$||a| - |b|| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|$$
其中，$|a|$ 和 $|b|$ 分别表示数 $a$ 和 $b$ 在数轴上与原点的距离。
基本性质
绝对值的定义
$|a| = a$，当 $a \geq 0$
$|a| = -a$，当 $a < 0$
绝对值的运算法则
加法
$|a + b| \leq |a| + |b|$
减法
$|a - b| = ||a| - |b||$
绝对值不等式的解法
基本形式
$|x| \leq a$：解集为 $-a \leq x \leq a$
$|x| > a$：解集为 $x < -a$ 或 $x > a$
复杂形式
对于不等式如 $|x - a| + |x - b| \leq c$，可以通过分段讨论的方法解决。例如：
当 $x \leq a$ 时，$|x - a| = a - x$，$|x - b| = b - x$，不等式变为 $a - x + b - x \leq c$，即 $2x \geq a + b - c$，解得 $x \geq \frac{a + b - c}{2}$
当 $a < x < b$ 时，$|x - a| = x - a$，$|x - b| = b - x$，不等式变为 $x - a + b - x \leq c$，即 $a + b \leq c$，此情况总是成立
当 $x \geq b$ 时，$|x - a| = x - a$，$|x - b| = x - b$，不等式变为 $x - a + x - b \leq c$，即 $2x \leq a + b + c$，解得 $x \leq \frac{a + b + c}{2}$
应用
绝对值不等式在数学、物理、工程学、计算机科学等领域都有广泛应用，例如在解决距离、速度、时间等问题时。
例子
1. 解不等式 $|x - 3| + |x + 1| \leq 5$：
当 $x \leq -1$ 时，$|x - 3| = 3 - x$，$|x + 1| = -x - 1$，不等式变为 $3 - x - x - 1 \leq 5$，即 $2x \geq -3$，解得 $x \geq -\frac{3}{2}$，结合 $x \leq -1$，得 $-\frac{3}{2} \leq x \leq -1$
当 $-1 < x < 3$ 时，$|x - 3| = 3 - x$，$|x + 1| = x + 1$，不等式变为 $3 - x + x + 1 \leq 5$，此情况总是成立
当 $x \geq 3$ 时，$|x - 3| = x - 3$，$|x + 1| = x + 1$，不等式变为 $x - 3 + x + 1 \leq 5$，即 $2x \leq 7$，解得 $x \leq \frac{7}{2}$，结合 $x \geq 3$，得 $3 \leq x \leq \frac{7}{2}$
综上所述，绝对值不等式在解决实际问题中非常有用，通过合理分段讨论和运用绝对值的性质，可以有效地求解各种复杂的不等式问题。