最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD），也称最大公因数（Highest Common Factor，HCF）、最大公因子，是一种数学概念，指 两个或多个整数共有约数中最大的一个。
最大公约数的定义
定义：如果n≥2是整数，而a1,a2,···,an和d都是正整数。又设d|a1, d|a2, ···, d|an，则d叫做a1,a2,···,an的公因数，公因数中的最大的那一个数叫做a1,a2,···,an的最大公因数。记作：gcd（a1,a2,···,an） = d。
最大公约数的应用
分数约分：在分数的约分过程中，需要求出分子和分母的最大公约数，以便进行约分。
解同余方程：在解同余方程的过程中，最大公约数也是必不可少的。
数论：在数论中，最大公约数是一个重要概念，它在分数的化简和整数的约分中都有着广泛的应用。
代数学：在代数学中，最大公约数在多项式的因式分解、线性方程组的求解等方面都需要用到。
数理逻辑：在数理逻辑等领域中，最大公约数也发挥着重要的作用。
其他领域：在物理学、工程和其他领域中，最大公约数也是一个重要的概念，例如在电路分析和信号处理中都需要用到最大公约数。
最大公约数的求解方法
质因数分解法：将每个数分解为质因数的乘积，然后找出这些质因数的公共部分，公共部分的乘积即为最大公约数。
短除法：通过连续除以两个数的公约数，直到找到最大的公约数。
辗转相除法：也称为欧几里得算法，通过反复进行除法和取余数的操作，最终得到最大公约数。
更相减损法：通过反复进行减法操作，最终得到最大公约数。
示例
求12和16的最大公约数：
12的约数：1, 2, 3, 4, 6, 12
16的约数：1, 2, 4, 8, 16
12和16的公约数：1, 2, 4
最大公约数：4，记为gcd（12,16） = 4。
求12、15和18的最大公约数：
12的约数：1, 2, 3, 4, 6, 12
15的约数：1, 3, 5, 15
18的约数：1, 2, 3, 6, 9, 18
12、15和18的公约数：1, 3
最大公约数：3，记为gcd（12,15,18） = 3。
最大公约数是数学中一个非常重要的概念，具有广泛的应用。通过掌握最大公约数的定义、求解方法及其在不同领域中的应用，可以更好地理解和解决实际问题。